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【例6】 解方程：x(x－6)＋5＝－4
分析：先化成一般形式，再视其特征，合理选用解法；
解：整理，得 x2－6x＋9＝0 （特征：左边是完全平方式）
(x－3)2＝0
∴ x1＝x2＝3
练习： 解方程：⑴ x(x－2)＝3x＋5
解：整理，得 x2－5x－5＝0 （用十字相乘法和配方法都不方便）
△＝25＋4×1×5＝45
因此，得根 
【例7】 解方程：(2x＋3)2＝4x
分析：先化成一般形式，再视其特征，合理选用解法；
解：整理，得 4x2＋8x＋9＝0
（用十字相乘法和配方法都不方便，只有用求根公式了）
∵ △＝64－4×4×9＜0
∴ 此方程无实数根。
【例8】 解方程：4x2＋4x＋1＝0
分析：左边正好是完全平方式，用因式分解法或直接开平方法都很方便
解：原方程可化为：(2x＋1)2＝0
∴ x1＝x2＝－0.5
练习：解方程：3y2－6y＝－3
解：整理，得 y2－2y＋1＝0
(y－1)2＝0
∴ y1＝y2＝1
【例9】 解方程：4x2－25＝0
解：移项，得 4x2＝25
开平方，得 2x＝±5
〖口诀〗：一边开方不带“±”，另一边开方带上“±”
∴ x1＝2.5，x2＝－2.5
【例10】 解方程：2x2－4
x＝0
分析：本题明显的特征是：缺少常数项，可用 提公因式法分解因式。这是最佳解法。
解：2x(x－2)＝0，因此，可得 x1＝0，x2＝2
【例11】 解方程：x(2x－1)＝3－6x
分析：很多同学，常常采用整理后，化为一般形式，再根据其特点选用合适的方法求解。
解：整理，得2x2＋5x－3＝0
这时，最好的方法是选用十字相乘法求解，其次采用公式法。
方法一：(x＋3)(2x－1)＝0 由此，可得 x1＝－3，x2＝0.5
方法二 ：∵ △＝25＋4×2×3＝49
用求根公式，可得 x1＝－3，x2＝0.5
本题最好的方法是直接用因式分解法，你看出来了吗？
方法三 ： 原方程可化为 x(2x－1)＝－3(2x－1)
移项，得 x(2x－1)＋3(2x－1)＝0
(x＋3)(2x－1)＝0
∴ x1＝－3，x2＝0.5
练习：解方程：(5x－1)2＝2(1－5x)
解：原方程可化为 (5x－1)2＝－2(5x－1)
(5x－1)2＋2(5x－1)＝0
(5x－1)(5x－1＋2)＝0
(5x－1)(5x＋1)＝0
∴ x1＝0.2，x2＝－0.2
【例12】 解方程：(x－1)(x＋1)＝4
分析：方程的左边是平方差公式，所以，展开后，再整理就化为一个非常简单的一元二次方程。
解：整理，得 x2－1＝4 即 x2＝5
∴ x1＝
，x2＝－
【例13】 解方程：(8－2x)(5－2x)＝18
分析：先整理成一般形式，观察其特点，再选用合适的方法。
解：整理，得 4x2－26x＋22＝0 （注意：系数还可再约简）
2x2－13x＋11＝0
此时，十字相乘法是最佳选择，因此，可分解为：
(x－1)(2x－11)＝0
∴ x1＝1，x2＝5.5
练习：解方程：⑴ (2x－5)(x－1)＝7 ⑵ (x－3)(x＋7)＝－9
分析：这两道题都是先整理成一般形式，观察其特点，再选用合适的方法。
⑴ (2x－5)(x－1)＝7
解：整理，得 2x2－7x－2＝0 （此时，只能选用求根公式来求解）
∵ △＝49＋4×2×2＝65
用公式，可求得两根为：
⑵ (x－3)(x＋7)＝－9
解：整理，得 x2＋4x－12＝0
这时，最好的方法是选用十字相乘法求解，其次采用配方法或求根公式法。
方法一：(x＋6)(x－2)＝0 由此，可得 x1＝－6，x2＝2
方法二：移项，得 x2＋4x＝12
配方，得 x2＋4x＋4＝12＋4
(x＋2)2＝16
x＋2＝±4
∴x1＝－6，x2＝2
方法三：∵ △＝16＋48＝64
用求根公式，可求得两根为：x1＝－6，x2＝2
【例14】 解方程：2(x－3)2＝x2－9
分析一：将原方程化为一般形式，再视其特征选取合适的方法求解；
解：原方程可化为： x2－12x＋27＝0
此时，我们采用十字相乘法非常方便；
(x－3) (x－9)＝0
∴x1＝3，x2＝9
分析二：右边可以用平方差公式分解因式，再移项，提公因式可解。
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)
2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0
(x－3) [ 2(x－3)－(x＋3) ]＝0
(x－3) (x－9)＝0
∴x1＝3，x2＝9
【例15】 解方程：(2x－3)2＝(3x－4)2
分析：移项后，是平方差公式的形式，因此可用因式分解法。
方法一：(2x－3)2－(3x－4)2＝0
[(2x－3)＋(3x－4)] [(2x－3)－(3x－4)]＝0
(5x－7)(－x＋1)＝0
∴x1＝1.4，x2＝1
分析：先整理，化为一般形式，再根据其特征选用合适的方法。
方法二：原方程可化为：4x2－12x＋9＝9x2－24x＋16
5x2－12x＋7＝0
(5x－7)(x－1)＝0
∴x1＝1.4，x2＝1
分析：由于两边都是完全平方式，所以，可以采用直接开平方法求解；
方法三：开平方，得：2x－3＝±(3x－4)
〖口诀〗：一边开方不带“±”，另一边开方带上“±”
2x－3＝3x－4 或 2x－3＝－(3x－4)
∴ x1＝1，x2＝1.4
评注： 方法三是本题的最佳解决方法
练习 解方程：
⑴ (x－1)2＝(2x＋3)2 ⑵ (x－2)2＝(2x＋5)2 ⑶ (2x－5)2－(x＋4)2＝0
解：⑴开平方，得： x－1＝±(2x＋3)
x－1＝2x＋3 或 x－1＝－(2x＋3)
∴ x1＝－4，x2＝－
⑵开平方，得：x－2＝±(2x＋5)
x－2＝2x＋5 或 x－2＝－(2x＋5)
∴ x1＝－7，x2＝－1
⑶移项，再开平方，得： 2x－5＝±(x＋4)
2x－5＝x＋4 或 2x－5＝－(x＋4)
∴ x1＝9，x2＝
【例16】 、 解方程：(x－2)2＋3(x－2)＝10
分析：先整理，化为一般形式，再根据其特征选用合适的方法。
解法一：去掉括号，整理，得 x2－x－12＝0
（此时，用十字相乘法是最佳方案）
(x－4)(x＋3)＝0
∴ x1＝4，x2＝－3
分析：将(x－2)看作一个整体，运用十字相乘法分解因式。
解法二：移项，得 (x－2)2＋3(x－2)－10＝0
[(x－2)－2][(x－2)＋5]＝0
(x－4)(x＋3)＝0
∴ x1＝4，x2＝－3
注：解法一更容易一些，被大多数学生采用，解法二要求观察能力强一些，能用此方法，说明学生对整体法解题有较深的理解。
阅读完这两篇文章，你对一元二次方程的解法是否有了一个较大的提高，如果是这样的话，作者感到极大的欣慰。
如果您对此难度还不满意的话，请再看下一篇！
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评论人：[匿名]
时间： [2010/2/1 20:14:01] IP：[222.139.76.15*]|
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