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全等三角形综合复习指导之一
发布时间:2011/9/9  阅读次数:703  字体大小: 【】 【】【

〖知识考点〗:掌握用三角形全等的判定方法来解决有关的证明和计算问题,灵活运用一般三角形全等的四个判定方法和直角三角形全等的“HL”来证明三角形全等。

〖精典例题〗:

【例1】如图,已知AB⊥BC,DC⊥BC,E在BC上,AE=AD,AB=BC。求证:CE=CD。

分析:作AF⊥CD的延长线(证明略)

评注:寻求全等的条件,在证明两条线段(或两个角)相等时,若它们所在的两个三角形不全等,就必须添加辅助线,构造全等三角形,常见辅助线有:①连结某两个已知点;②过已知点作某已知直线的平行线;③延长某已知线段到某个点,或与已知直线相交;④作一角等于已知角。

                       

【例2】如图,已知在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD。

分析:采用截长补短法,延长AC至 E,使AE=AB,连结DE;也可在AB上截取AE=AC,再证明EB=CD(证明略)。

探索与创新:

【问题一】阅读下题:如图,P是△ABC中BC边上一点,E是AP上的一点,若EB=EC,∠1=∠2,求证:AP⊥BC。

证明:在△ABE和△ACE中,EB=EC,AE=AE,∠1=∠2

           ∴△ABE≌△ACE(第一步)

           ∴AB=AC,∠3=∠4(第二步)

           ∴AP⊥BC(等腰三角形三线合一)

上面的证明过程是否正确?若正确,请写出每一步的推理依据;若不正确,请指出关键错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程。

略解:不正确,错在第一步。

正确证法为:

∵BE=CE

∴∠EBC=∠ECB

   又∵∠1=∠2

∴∠ABC=∠ACB,AB=AC

∴△ABE≌△ACE(SAS)

∴∠3=∠4

   又∵AB=AC

∴AP⊥BC

评注:本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题,其目的是考查学生阅读理解能力,证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型,应引起重视。

【问题二】众所周知,只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等,你能想办法安排和外理这三个条件,使这两个三角形全等吗?

请同学们参照下面的方案(1)导出方案(2)(3)(4)。

解:设有两边和一角对应相等的两个三角形,方案(1):若这个角的对边恰好是这两边中的大边,则这两个三角形全等。方案(2):若这个角是直角,则这两个三角形全等。方案(3):若此角为已知两边的夹角,则这两个三角形全等。

评注:这是一道典型的开放性试题,答案不是唯一的。如方案(4):若此角为钝角,则这两个三角形全等。(5):若这两个三角形都是锐解(钝角)三角形,则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况,这类题目要求学生依据问题提供的题设条件,寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件,设计让命题在一般情况不成立,而特殊情况下成立的思路。

跟踪训练:

一、填空题:

1、若△ABC≌△EFG,且∠B=60°,∠FGE-∠E=56°,则∠A=               度。

2、如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形           对。

3、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于D,且DC∶DB=3∶5,则点D到AB的距离是              

                                  

4、如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:                           ,使△AEH≌△CEB。

5、如图,把一张矩形纸片ABCD沿BD对折,使C点落在E处,BE与AD相交于点O,写出一组相等的线段                           (不包括AB=CD和AD=BC)。

6、如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF。给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN。其中正确的结论是                   (填序号)。

二、选择题:

1、如图,AD⊥AB,EA⊥AC,AE=AD,AB=AC,则下列结论中正确的是(       )

       A、△ADF≌△AEG                                               B、△ABE≌△ACD

C、△BMF≌△CNG                                         D、△ADC≌△ABE

                       

2、如图,AE=AF,AB=AC,EC与BF交于点O,∠A=60°,∠B=25°,则∠EOB的度数为(       )

       A、60°                           B、70°                                   C、75°                       D、85°

3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角(       )

       A、相等                       B、不相等                   C、互余                       D、互补或相等

                                           

4、如图,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则(m+n)与(b+c)的大小关系是(       )

       A、m+n>b+c                                               B、m+n<b+c

C、m+n=b+c                                               D、无法确定

三、解答题:

1、如图,∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD。求证:△ABE和△BDC是等腰三角形。

                              

2、如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点。

(1)求证:AF⊥CD;

(2)在你连结BE后,还能得出什么新结论?请再写出两个。

3、(1)已知,在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,∠BAC=∠EDF=1000,求证:△ABC≌△DEF;

(2)上问中,若将条件改为AB=DE,,BC=EF,∠BAC=∠EDF=700,结论是否还成立,为什么?

4、如图,已知∠MON的边OM上有两点A、B,边ON上有两点C、D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上一点。问:

(1)△ABP与△PCD是否全等?请说明理由。

(2)△ABP与△PCD的面积是否相等?请说明理由。

                              

5、如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,点E、F分别为垂足,且AC∥BD。

(1)根据所给条件,指出△ACE和△BDF具有什么关系?请你对结论予以证明。

(2)若△ACE和△BDF不全等,请你补充一个条件,使得两个三角形全等,并给予证明。

参考答案

一、填空题:

1、32;2、3;3、15;4、AH=BC或EA=EC或EH=EB等;

5、DC=DE或BC=BE或OA=OE等;6、①②③

二、选择题:BBDA

三、解答题:

1、略;

2、(1)略;(2)AF⊥BE,AF平分BE等;

3、(1)略;(2)不成立,举一反例即能说明;

4、(1)不一定全等,因△ABP与△PCD中,只有AB=CD,而其它角和边都有可能不相等,故两三角形不一定全等。(2)面积相等,因为OP为∠MON平分线上一点,故P到边AB、CD上的距离相等,即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等,又根据AB=CD(即底边也相等)从而△ABP与△PCD的面积相等。

5、(1)△ACE和△BDF的对应角相等;(2)略

  

  

  

  

  

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