一元二次方程的解法：

⑴直接开平方法；  ⑵配方法；   ⑶运用公式法；   ⑷因式分解法

⑴ 直接开平方法适用的类型：  

ax²＝c；(ax＋b)²＝c；a(mx＋n)²＝c；(ax＋b)²＝(mx＋n)²

  ⑵ 配方法适用的类型：

最适合二次项系数是1，一次项系数是偶数的情形。如：x²＋2x－8＝0

  ⑶ 运用公式法适用的类型：  

将一元二次方程整理成一般形式以后，如果十字相乘法和配方法不方便时，常采用公式法，它适用于一切一般形式的一元二次方程。

  ⑷ 因式分解法适用的类型：  

各类考试中只要是一元二次方程的求解题，首先要考虑因式分解法，特别是一般形式可以用十字相乘法时，是最快捷的方法，但要求同学们对其方法要熟练掌握。其次，可以考虑提公因式和运用公式进行分解因式，无论是怎样可以分解，都要首选因式分解法，此方法不方便时，再考虑其它方法，如求根公式法。

下面就对上述归纳，通过以下例题具体讲解，相信你通过阅读此篇文章，在理解其精髓的基础上对一元二次方程的解法，将会有一个飞跃式的提高。

【例1】       解方程：x²＋3x＋1＝0

分析：此题用十字相乘法无法分解，又不适合用配方法，因此，选用公式法来求解是最佳选择。

解：∵ △＝3²－4×1×1＝5

           ∴                     即  

练习：解方程：⑴　x²＋4x－5＝0    　⑵ 2x²－7x＋3＝0

  解：⑴　方法一：用十字相乘法是最佳选择，可分解为

                            (x－1)(x＋5)＝0     因此，可得根为：x₁＝1，x₂＝－5

方法二：由于本题“二次项系数是1，一次项系数是偶数”

                       用配方法也是比较理想的解法，解答如下：

移项，得 x²＋4x＝5

配方，得 x²＋4x＋4＝5＋4

                              (x＋2)²＝9  
                                       x＋2＝±3
因此，可得根为：x₁＝1，x₂＝－5

方法三：由于许多同学对十字相乘法不熟悉，或没有学会，并且认为配方法比较麻烦，因此，做题中不少同学运用公式法。

  ∵ △＝4²＋4×1×5＝36

∴  

因此，可得根为：x₁＝1，x₂＝－5

⑵ 2x²－7x＋3＝0

方法一：用十字相乘法是最佳选择，可分解为

                            (x－3)(2x－1)＝0     因此，可得根为：x₁＝3，x₂＝0.5

方法二：配方法计算量特别大，因此，其次的选择就是求根公式。

  ∵ △＝49－4×2×3＝25

∴    

  因此，也较容易地求得两根为：x₁＝3，x₂＝0.5

【例2】         解方程：2x²－3x－5＝0

分析：本题的首选解法是十字相乘法，其次是求根公式法。

  方法一：(x＋1)(2x－5)＝0     因此，可得根为：x₁＝－1，x₂＝2.5

  方法二：∵ △＝9＋40＝49    因此，可得根为：x₁＝－1，x₂＝2.5

练习：解方程：

⑴   2x²－3x＋1＝0     ⑵ x²－2x＋3＝0    ⑶x²－x－1＝0

解：⑴   2x²－3x＋1＝0

分析：本题的首选解法是十字相乘法，其次是求根公式法。

    方法一：(x－1)(2x－1)＝0     因此，可得根为：x₁＝1，x₂＝0.5

   方法二：∵ △＝9－8＝1       因此，可得根为：x₁＝1，x₂＝0.5

       ⑵ x²－2x＋3＝0  

分析：由于式子的左边正好是完全平方式，因此，本题的首选解法是将左边写成完全平方式，进行因式分解。

方法一：(x－)²＝0   因此，可得根为：x₁＝x₂＝

由于很多同学在解题时不能观察出左边是完全平方式，因此，常采用求根公式法，也是较为理想的方法，并且运算量也不大。

方法二：∵ △＝(2)²－4×1×3＝0      

                     因此，可得根为：：x₁＝x₂＝

方法三：由于本题“二次项系数是1，一次项系数2相当于偶数的情形”用配方法也是比较理想的解法，解答如下：

移项，得 x²－2x＝－3

配方，得 x²－2x＋()²＝3－3

                             (x－)²＝0   因此，可得根为：x₁＝x₂＝

配方法和因式分解写成完全平方公式效果相同。

  ⑶x²－x－1＝0

本题因式分解法几乎不可能，配方法也不方便，且由于系数较小，用求根公式法十分容易。相信你自己可以完成。

【例3】     解方程：2x²－5x＋2＝0

分析：本题的首选解法是十字相乘法，其次是求根公式法。

解：方法一：(x－2)(2x－1)＝0     因此，可得根为：x₁＝2，x₂＝0.5

方法二：∵ △＝25－16＝9     因此，可得根为：x₁＝2，x₂＝0.5

【例4】         解方程：x²－6x－16＝0

分析：本题的首选解法是十字相乘法，其次是配方法，用求根公式由于数较大就不方便了。

方法一：(x－8)(x＋2)＝0     因此，可得根为：x₁＝8，x₂＝－2

方法二：移项，得 x²－6x＝16

配方，得 x²－6x＋9＝16＋9

                              (x－3)²＝25  
                                    

                                 x－3＝±5

因此，可得根为：x₁＝8，x₂＝－2

【例5】       解方程：：2(y－5)²－72＝0

分析：本题是典型的运用直接开平方法求解的题，先将常数移到右边，再两边都除以2，将系数化简。

解：整理，得        (y－5)²＝36

           开平方，得          y－5＝±6    

                   〖口诀〗：一边开方不带“±”，另一边开方带上“±”

化为两个一元一次方程：  y－5＝6或y－5＝－6

因此，可求得根为：y₁＝11，y₂＝－1

练习： 解方程：⑴　(x＋2)²－25＝0

解：移项，得      (x＋2)²＝25

           开平方，得          x＋2＝±5

     〖口诀〗：一边开方不带“±”，另一边开方带上“±”

化为两个一元一次方程：  x＋2＝  5 或 x＋2＝－5

因此，可求得根为：x₁＝3，y₂＝－7

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